logo
          fram
          tilbake
Snølastmodeller.
Innledning
Dette er et forsøk på å gi et lite innblikk i problemstllinger knyttet til statistiske modeller for snølast. Av praktiske grunner er det meste av det mer grunnleggende matematiske stoffet plassert som vedlegg i en pdf-fil. Denne finner du her. Henvisningene markert med [] refererer til en litteraturliste nederst på siden.
Statistisk modellering av maksimale snølaster
Det ligger bokstavelg talt i sakens natur at det ikke er helt enkelt å utvikle pålitelige modeller for en parameter som maksimal årlig snølast. Det kan forekomme store lokale variasjoner både i tid og rom.
De verdiene for karakteristisk snølast vi opererer med med bygger på målinger av snølast på en rekke steder over mange år. I utgangspunktet forutsetter en statistisk analyse av en slik tidsserie at målingene er likeverdige uavhengig av plasseringen innenfor måleserien.
Pr definisjon leverer hvert målepunkt kun en verdi for maksimal årlig snølast pr år, og det tar følgelig relativt lang tid å hente inn representative data. Selv om det i prinsippet kan være mulig å korrigere resultatene for observerte, eller predikerte, klimaendringer, vil det alltid ligge en usikkerhet i om konklusjonene har relevans for historiske snarere enn framtidige forhold.
Det at tallmaterialet skal være grunnlag for å dimensjonere konstrukjoner med lang forventet levetid, gjør ikke problemstillingen mindre interessant.
Vi skal imidlertid ikke gå videre med dette, men anta at snølaster er en tidsstatisk størrelse med tilfeldige fluktuasjoner. Siden vi i det følgende kun interesser oss for de maksimale snølastene hvert år vil vi ofte omtale denne snølasten som "snølast".
Vi arbeider nå ut fra en modell der snølastene representerer en stokastisk variabel og det er forutsetningsvis ingen kausal sammenheng mellom snølaster i påfølgende år. Oppgaven blir da å finne en statistisk fordeling som beskriver observasjonene på en akseptabel måte.
Det er neppe mulig å velge en "beste" fordelingsfunksjon ut fra rent teoretiske betraktninger og da må valget basere seg på testing mot måledata. I vedlegget er det definert et antall fordelinger som kan være aktuelle i sammenhengen.
I en tysk undersøkelse [1] av målte snødata på 331 lokaliteter var resultatet at log-normal fordelingen var "best" på ca. 50% av lokalitetene. Gumbel- og Weibullfordelingene passet best på ca. 25% hver. Jeg kjenner ikke resultater fra tilsvarende norske undersøkelser.
I Vest Europa (og i Norge) har det tradisjonelt vært antatt at ekstremverdier av naturlaster kan approximeres med en Gumbelfordeling. Av 18 land som var med i CEN samarbeidet i 2001, antok 17 at maksimale snølaster var gumbelfordelte.
Litt mer om Gumbel-fordelingen.
Som vi har vært inne på har Gumbelfordelingen en "standardstatus" når det gjelder snølaster. Det er også den som synes mest aktuell her i landet. Som angitt i vedlegget har to-parameter varianten av Gumbelfordelingen fordelingsfunksjonen:
P(x) = e-exp(-β(x-α)) Der: exp(-β(x-α)) = e-β(x-α)  (1)   
Her er P(x) sannsynligheten for at måleverdien er mindre eller lik x. β og α er fordelingens to parametre.
Vi har videre vist at:
α = μ - γ/β (2) Og: β = πσ-16-1/2   (3)  
γ er Eulers konstant ca. 0,5772, μ er middelverdien og σ er spredningen
Ved hjelp av ligningene (2) og (3) kan vi bestemme parametrene β og α ut fra de karakteristiske størrelsene μ og σ.
For å tilpasse en Gumbelfordeling til en gitt måleserie kunne vi tenke oss å forsøke å sette μ = μe og σ = σe. Det er en vanlig metode for å for å tilpasse en fordeling til en obsevasjonsserie. Som nevnt i vedlegget gir metoden ofte gode resultater.
Vi regner litt videre:
Fra(1) ln(-lnP(x) = -β(x-α) (4)  x = α-ln(-lnP(x))/β (5) 
Ved hjelp av (5) kan vi bestemme karakteristisk snølast fra en gitt Gumbelfordeling. Vi har:
sk = α-ln(-ln(0,98))/β  (6)
Dersom x1 og x2 er verdier som tilsvarer sannsynlighetene p1 og p2 får vi fra (5):
x1/x2 = (αβ-ln(-lnP1))/(αβ-ln(-lnP2))  (7)
Vi kan innføre variasjonskoeffisienten V = σ/μ Da finner vi etter noe omforming:
αβ = π/V√6 - γ = K-1  (8)
Med disse betegnelsene kan (7) skrives:
x1/x2 = [K(ln(-lnP1))-1]/[K(ln(-lnP2))-1]  (9)
Når vi kjenner variasjonskoeffisienten kan (8) og (9) benyttes til å finne laster med andre returperioder uttrykt ved sk. Vi har:
sn = sk[K(ln(-ln(1-1/n)))-1]/[K(ln(-ln0,98)-1] (10)
Her er sn last med returperiode n år og Pn er sannsynligheten for at lasten ikke blir overskredet i et enkelt år. (Returperioden T = 1/(1-Pn).) (Formelen (10) tilsvarer formelen i [2].)
Eksempel på snølastmålinger.
Image8 (1K) Image3 (1K)
Fig.1 Fig.2
Diagrammet fig.1 viser resultater fra målinger av maksimal snølast på en lokalitet i Sigdal i perioden 1896 - 1969 [3]. Datagrunnlaget bør være tilstrekkelig for en statistisk behandling [4]. Fig.2 viser de gjennomsnittlige maksimale snølastene i de ulike tiårsperiodene. Med de begrensningene som følger av at vi bare har målinger fra et sted, er det vanskelig å se noen spesiell tendens når det gjelder endringer i snølast i løpet av måleperioden.
Måleserien har bl.a. følgende karakteristiske data:
Gjennomsnittlig maksimal snølast: 2,49 kN/m².
Spredning: 0,91 kN/m²
Variasjonskoeffisient: 0,36
Medianlast 2,35 kN/m²
Image12 (1K) De to neste diagrammene viser relativ frekvens og fordeling for måleserien. Vi kan merke oss at frekvensdiagrammet er markert usymmetrisk.
Det nederste diagrammet er en sammenligning mellom måleserien og ulike tilpassede fordelinger. Lognormal- og Gumbelfordelingene har forventningsverdier som tilsvarer gjennomsnittet av måleserien. De har også samme spredning som måleserien. Weibullfordelingen er tilpasset ved en variant av ML-metoden (jfr. vedlegget side 16).
Alle fordelingene samsvarer rimelig bra med målingene. Vi ser at den karakteristiske snølasten varierer maksimalt ca. 0,5 kN/m² mellom de ulike fordelingene. Siden Weibullfordelingen ikke "automatisk" har samme forventningsverdi og spredning som de andre er disse beregnet separat. De aktuelle verdiene er: Forventningsverdi 2,50 kN/m² og spredning 0,92 kN/m². Image2 (1K)
Image1 (4K)
Referanser.
  1. Soukov D.,"The Probability Distribution Function for Snow Load in Germany",
    LACER, Vol3, Leipzig, 1998.
  2. NS 3491-3, "Prosjektering av konstruksjoner Del 3: Snølaster"
    1.utgave mars 2001, side 25.
  3. Institutt for konstruksjonsteknikk NTNU, "SIB 3015 BM 5 - Prosjektering av bygninger og infrastruktur KARAKTERISTISKE VERDIER OG RETURPERIODER", NTNU 1999.
  4. Linacre E, Climate Data and Resources A Reference and Guide",
    Routledge, London, 1992, side 231-239.
tilbake opp startside fram
© Snøfangerkroken R.A. Sjulsen. Ettertrykk uten kildeangivelse er forbudt.MB
211216